1+1=2
这个最简单的公式，
就像是一场人类诞生的“简洁”庆典。
发现世界上最简单的公式1+1=2，意味着什么？
这个连三岁小孩都能秒懂的公式是人类文明诞生的起点，它昭示着自然数的诞生，引发持续数千年的数字大爆炸。数学创生的全部基本公理都蕴含其中。
而它究竟从何而来，又将引领人类向何而去？
人生识字忧患始，人类的所有烦恼，也是不是因为知道了1+1=2呢？
从老祖先开始追溯
早在远古时代，我们的老祖先就在储藏猎物、分配食物时，逐渐产生对数的感觉。
当2只牛、3只羊、5只猪摆在一块，只有这些东西可过冬时，强烈的求生欲使老祖先朦胧地意识到这其中有一种共性，并开始摆弄着自己仅有的10只手指计数。然而，从这种原始的抽象【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目感觉到具体的“数”的概念的形成，却经历了极其漫长的历史岁月。
因此，当某位古代先祖第一个意识到“1+1=2”，从而认识到两个数相加得到另一个确定的数时，就发现了“数学”一个非常重要的性质——可加性，这是人类文明史上一个极其伟大的时刻。
如同钻木取火，1+1=2的最初使用也仅是迫不得已地为了生存，两者同样至少有着30万年的历史，造福人类，但自然数的形成却远比火的诞生有深远影响。
1+1=2，关于这个公式，最直观涉及到的就是自然数和加法。
我们已经无法考证，加法究竟是在何时被人类发明的，因为没有足够详细的文献记录，甚至可能没有文字。但加法的出现，无疑是为了在交换商品或战俘时进行运算。
“＋”、“－”出现于中【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目世纪。
据说，当时酒商在售出酒后，曾用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，便用竖线条把原来画的横线划掉，于是就出现用以表示减少的“－”和用来表示增加的“＋”。最后直到1630年，“＋”作为运算符号才得到大家的公认。
而关于自然数的出现，却比“＋”、“－”开始地更早，大约在1万年以前，冰河退却了。石器时代，那些马背上的游牧狩猎者，在中东的山内悄悄地开始了一种新的生活。他们摒弃掉凶横猎杀的本性，开始乖乖下田，播种，进行农耕，这时，如何记录日期、季节，如何计算收藏谷物数、种子数可难为住了这群四肢发达的壮汉。
特别是在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域，还发展起了更复杂的农业社会，这群刚进入新时代【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目的农民还遇到了交纳租税的问题。显然，过去石器部落文化里总结的“一”、“二”、“三”、“多”已远远不够用了，人们迫切需要“数”有名称，而且计数必须更准确些。
然而，没有人见过自然数，也没有人知道它是怎么排列分布的。
它是用以计量事物的件数或表示事物次序的数，它的分布或许是兜兜转转一个圈，或许是螺旋交错缠绕式，或许是放射爆炸发散式的，不同选择就会有不同的数学世界。但最终数学世界最后选择的是图1-1“1、2、3、4、5……”这样一个不可逆的直线式的有序体系。
图1-1
如何巧用皮亚诺公理证明？
我们都知道1+1=2，但你是否有想过为什么1+1就等于2呢？
这个问题，不去深思还好，一深思就像鸡生蛋还是蛋生鸡这个难【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目题一样，会把你绕得云里雾里，好在总会有那么几位具有哲学思维的数学家爱孜孜不倦地去思考、证明它。
而在这其中，意大利数学家皮亚诺用公理把自然数安放在了数学世界里面，用五条公理建立了一阶算术系统，可以用来推导出“1+1=2”这一数学世界的原点。
公理1：0是自然数。
茫茫的数学宇宙里，如图1-2所示，从此有了第一个身影存在——0。
图1-2
公理2：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a，a也是自然数。
那么，这个自然数起点“0”是怎么爆发的呢？后继陪伴者会以什么样的形式出现？调皮地围着0四处发散，或是偷偷地跑到0的后面，亦或是狠心地留0一个数在那？
公理2做出了选择，让偌大的数学空间中，出现的每个数都拥【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目有着一个确定的后继数陪伴着自己，如图1-3：
图1-3
公理3：0不是任何自然数的后继数。
为了避免后继者不守规矩跑到0的跟前，公理3确定了0必须也只能是自然数的第一个数。但是防不胜防，这群后继者可能也没那么安分，他们还可能因为同一个姑娘争风吃醋。也就是说，有可能3的后继数3 = 3，也可能2的后继数2 = 3。如下图1-4，出现这种情况：
图1-4
公理4：不同的自然数有不同的后继数。
为避免上述情况，公理4赶忙着出来定义，如果n与m均为自然数且n ≠ m，那么n ≠ m；如果b、c均为自然数，且b = c ，那么b = c；同一个自然数的后继数相等，不同自然数的后继数不相等，这样，3就不可能既是2的后【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目继数，也是3的后继数了。但如果出现图1-5里2.5这样的数呢？
图1-5
为了干掉2.5这样非自然数的出现，公理5冒泡了。
公理5：假定P(n)是自然数的一个性质，如果P(0)是对的，且假定P(n)是正确的，则P(n)也是真的，那么命题对所有自然数都为真。
它还有另外一种形式：设S是自然数集的一个子集，且满足(i)0属于S；(ii)如果n属于S，那么n也属于S；则S是包含全体自然数的集合，即S = N。
这里的说法可能会有点“绕”，读者可能不是很理解。具体细剖，这是数学中的归纳公理，也就是说如果有一个自然数的性质，那么所有自然数都将满足这个性质，不满足的就不是自然数。这样，我们可以定义自然数系：存在一个【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目自然数系N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理1-5。
再定义加法是满足以下两种规则的运算：
1. 对于任意自然数m，0 + m = m；
2. 对于任意自然数m和n，n + m = (n + m)。
这样，我们就可以证明1+1=2：
1 + 1 = 0 + 1 = (0 +1) = 1 = 2；
或者，1 + 1 = 0 + 0 = 0 = 2。
或者，因为1+1的后继数是1的后继数的后继数，即3；又因为2的后继数也是3，根据皮亚诺公理4，不同自然数的后继数不同，所以1+1=2。
这样，根据皮亚诺五条公理建立起来的皮亚诺一阶算术系统，我们就推导出了1+1=2。
哥德巴赫猜想
另一个“（1+1）”
推导出1【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目+1为什么等于2，并不能为难那些脑路清晰，异于常人的数学家们。怎么解决世间另一个“1+1”，这才是这群数学家的心头痛。
哥德巴赫猜想，是数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”，堪称世界近代三大数学难题之一。
大概在18世纪左右，德国一富家子弟哥德巴赫，厌倦了锦衣玉食的生活，不顾家人阻拦，偏要跑去一名中学教师，还从此一发不可收拾地爱上数学，就连晚上回家休息，也在捣鼓着阿拉伯数字。而他生平最喜欢玩的游戏竟是加法运算，而且还在玩加法游戏的过程中发现了一个奥妙：任何大于5的奇数都是三个素数之和。
但令他无奈的是，他越玩越失败，怎样也无法证明自己的发现。后来，只能求助于当时数学界的权威大咖欧拉。
1742年6月7日【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目，哥德巴赫写信给欧拉，提出：任何大于5的奇数都是三个素数之和。随便取个奇数77，可写成三个素数之和，77=53+17+7；再任取一个奇数461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。
没想到独眼巨人欧拉居然也被这个问题给为难住了，1742年6月30日，欧拉给哥德巴赫回信：这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。为了挽回下自己居然也给不出证明的面子，狡猾的欧拉同时还提出了另一个等价命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但这个命题他也没能给予出证明。
而这样一个“任一充分大的偶数，都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数，与另【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目一个素因子不超过b个的数之和”命题，就被统记作“a+b”，哥德巴赫猜想（也称哥德巴赫-欧拉猜想），也就被称为另一个“（1+1）”。
二进制世界里的1+1
在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆，有一份弥足珍贵的手稿，它的标题为：
“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。”
这是德国天才大师莱布尼茨的手迹，他用几页异常精炼的描述，发明了一个神奇美妙的数字系统——二进制，他告诉我们，1 + 1 ≠ 2，在计算机代码世界里，1 + 1 = 10。
二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目借一当二”。当前的计算机系统使用的基本上就是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。
可以说，从20世纪第三次科技革命爆发以来，人类就开始进入了计算机时代，我们在虚拟的网络里游戏、社交、狂欢。到现在21世纪，开始致力于人工智能的开发，而这些东西本质上都是由计算机实现的。
而未来，完全身处于数字时代的我们，必将被二进制代码全身笼罩，这个世界，1+1就只可能等于2吗？
结语
回到最初的原点
不管是现实生活中简明易懂的1 + 1 = 2，或是数论世界里令人绞尽脑汁的“1 + 1”，还是虚拟世界里的1+1=10，都以其自身的客观性和普适性在时间的岁月里不证自明，让人类能以其为始，在接受这些公式和定理【我爱线报网】52线报网-专注分享活动首码线报优惠券零投网赚项目的条件下，继续用理性的方法推导衍生出万事万物。并在万事万物中，能轻易地窥视其踪迹。
欲罢不能的王者荣耀是由0和1的代码编写运行；
置放苹果的天秤则完全满足可加性的量；
总质量总是等于每个物体的质量之和；
……
1+1=2撑起了人类理性世界的基本运转，跨越人类文明始终，不需要名称，不需要翻译，也不需要解释。
它无处不在，藏匿于天地之间，本身就拥有着妙不可言的美感。
来源：量子学派编辑：aki
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