有一类函数，在一个极小的区间内，导函数狂疯变号，图像就像一条极短的狂疯振荡波，因此老黄就称它为“振荡波”函数。这类函数通常都与sin(1/x)或cos(1/x)有关，而相关问题又通常与它们的极限有关，解决起来会有一定的难度。比如下面这道关于分段函数的可导性和邻域内的单调性问题。

讨论函数f(x)={(x/2+x^2 *sin(1/x),x≠0；0, x=0).

(1)在x=0是否可导？(2)在x=0的任何邻域内函数是否单调？

分析：(1)第一小题很容易解决，就用函数在x=0的导数定义极限公式检验极限是否存在就可以了。如果极限存在，就证明可导。有时可能需要检验左、右极限是否相等。

(2)第二小题就要好好【我.爱.线.报.网.】52xbw .cn 每日持.续更新.可.实操.的副.业.理解一下了。先求x≠0时的导函数。然后可以考虑证明f(x)恒不小于0，由于f(0)>0，所以不存在f(x)恒小于0的情形。只要f(x)>=0恒成立，那么结论就是函数在x=0的任何邻域内单调。如果存在f(x)小于0的情形，就存在x=0的邻域内，函数不单调。

如果按上面分析的方法去做，那就是没有很好理解出题人的意图。因为这里还可能存在一种情况，就是函数在x=0的任何邻域内都不单调的情形。也就是老黄前面说的，这个函数在x=0的某邻域内是一段“振荡波”，这是导函数在这个邻域内疯狂变号造成的。从而导致函数在x=0的任何邻域上都不单调。

因此，关键的问题就是要找到这个邻域的半径。事实上，邻域通常并不是一个具体【我.爱.线.报.网.】52xbw .cn 每日持.续更新.可.实操.的副.业.的概念，因为任意邻域内都包含有无限的邻域，所以我们只要找到一个适合的半径，甚至并不需要明确半径的大小，只要证明存在就可以了。不一定要找到最大半径，因为题目没有要求。至于怎么找到适合的半径，那就要在解题过程中，根据实际需要来确定了。

下面是解题的过程：

解：(1)lim(h→0)(f(h)-f(0))/h = lim(h→0)(h/2+h^2*sin(1/h))/h

= lim(h→0)(1/2-h*sin(1/h))=1/2.

∴f(x)在x=0可导. 【f(0)=1/2】

(2)当x≠0时, f’(x)=1/2+2xsin(1/x)-cos(1/x).

接下来这一步就非常关键了。主要目的是取一个x值，使得【我.爱.线.报.网.】52xbw .cn 每日持.续更新.可.实操.的副.业.函数在x=0的某邻域内振荡。也就是使f(x)疯狂变号。通过观察发现，如果取x=1/(nπ)，就可以使2xsin(1/x)=0, 减少这一项的干扰，同时使cos(1/x)因为n的奇偶性而取不同的值，正好满足前面的设想。即，

当n为偶数时，f’(1/nπ)=1/2-cosnπ=1/2>0；当n为奇数时，f’(1/nπ)=1/2-cosnπ=-1/2<0.

最关键的是：

当n→∞时, 1/(nπ)→ 0，【即x=1/(nπ)在0的某邻域内，在这个邻域内，f(x)不断变号，f(x)疯狂振荡】

∴f(x)在x=0的任何邻域内都不单调.

下面是函数的图像，由图像只能看出函数在x=0附近的振荡趋势，而无法看清楚振荡的【我.爱.线.报.网.】52xbw .cn 每日持.续更新.可.实操.的副.业.详细情形。

事实上，“振荡波”函数是不可能看得清楚的，只能根据理论通过想象来认识它。虽然我们可以明确这个振荡波是从x=正负1/π开始的。但越是接近x=0，就越是超越人类直观感官水平哦。对此，你怎么看呢？