传说中的范德蒙行列式是个啥?今天我就带大家看一看它的真面目:
行列式是个啥?如果你有看过我之前的文章,就知道行列式的值是一个“数”。这个数其实代表了线性变换后的面积比率。
首先是二阶范德蒙行列式,它的第一行全是1,第二行有两个任意的实数a和b:
它的值一眼就能看出来,无非就是主对角线乘起来减去副对角线乘起来:b-a嘛。
那三阶范德蒙行列式长啥样子?
注意看,它第一行依然全是1,只不过从2个变成了3个,这很好理解,因为2×2矩阵变成了3乘3矩阵,自然会多出5个数来,同时还多出了一个未知数c,且多了a的平方,b的平方和c的平方。
这就是三阶的范德蒙行列式,那么它的值怎么算呢?
这么复杂,我当然是不【我爱线报网】会笔算的,请出我们的matlab跑一下:
实际上这个复杂的式子可以组合成下面这样,也就是最后一个数c减去前两个数a,b分别乘起来,在乘以中间的数b减去a,是三项连乘的形式:
再看看四阶范德蒙行列式,你们发现其中的规律了吗?
它其实就是,:
不信的话,大家可以用matlab跑一下就知道结果究竟对不对了:
好了,铺垫做得够多了,我们现在引出这个范德蒙行列式专业的数学定义,相信大家再看它的时候就不会看不懂了:
x1,x2,x3,xn,说白了就是a,b,c,只不过换了个字母表示而已。后面像门一样的东西是数学中的连乘符号,也就是把所有的值都遍历一遍,i比j大,也就是之前公式里的用x3-x2,x3-x1,x2-x1。【我爱线报网】
比如,三阶范德蒙式的D3就是:
范德蒙行列式有啥用呢?
说了一大堆,你问,那这玩意儿有什么实际用处呢?为什么在线性代数的课本里要出现它?
1.它在数学定理中证明用得多,比如多项式插值,不是数学相关领域的人基本用不到,这里就不做介绍了。(详情可参考知乎“纯粹”先生写的文章)
2.就是为了看好看。你有在范德蒙行列式中感觉到一种数学的美感吗?笔者倒是没有什么感觉,欢迎留言讨论~
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